미적분으로 이해하는 포물선 운동

최고점 높이: $h$
도착 위치(날아간 거리): $s$ (그래프에서 $S_x$)
체공시간: $T$
초기 속력: $v$
쏘아올린 각도: $\theta$
중력가속도: $g$

위와 같은 포물선 운동에서 최고점 높이, 도착 위치와 체공시간, 초기속력, 쏘아올린 각도 간의 관계를 생각해보자.

포물선 운동하는 물체의 속도벡터는 아래와 같다.

$$ (v \cos \theta, v \sin \theta - gt)$$

그러므로 위치벡터는

$$ (v \cos {\theta} \times t, v \sin {\theta} \times t - \frac{1}{2}gt^2)$$

체공 시간은 처음 위치 $t=0$를 제외하고 $y$좌표가 $0$인 지점의 시간이므로

$$T=\frac{2v \sin \theta}{g} $$

 

도착 위치(날아간 거리)는 시간 $T$에 대한 $x$성분의 값이므로 $$ s = \frac{2v^2 \cos \theta \sin \theta}{g} $$

간단히 하면 $$ s = \frac{v^2 \sin 2 \theta}{g} $$

이를 통해 물체를 $ 45^\circ $ 로 쏘아올릴 때 가장 긴 거리를 날아간다는 것을 확인할 수 있다.

 

최고점 높이는 속도의 $y$성분이 $0$이 되는 지점(극댓값)이므로 $t = \frac{v \sin \theta}{2}$를 y 성분에 대입하면 $$ h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$$

 

주어진 값이 $h$ 일 때, 체공시간 $T$를 $h$로 표현하면 $v \sin \theta = \sqrt{2 g h}$ 이므로 $$ T= \frac{2v \sin \theta}{g} = 2 \sqrt{\frac{2h}{g}} $$

즉, 체공시간은 최고점 높이 h에만 영향을 받는다는 것을 알 수 있다.

 

최고점 속력은 $v \cos \theta$이므로 $h, s$로 표현하면 $s = v \cos {\theta} \times  T$ 이므로 $$v \cos \theta = s \sqrt{\frac{g}{8h}} $$

따라서 최고점 속력은 도착 지점에 비례하고 최고점 높이의 제곱근에 반비례함을 알 수 있다.

 

쏘아올린 각도는 $$\tan \theta = \frac{4h}{s}$$

초기 속력은 $$ v= \sqrt{v^2 \cos^2 \theta + v^2 \sin^2 \theta} =\sqrt{\frac{s^2 g}{8h}+2gh}$$