Quaternions and Rotations in $\mathbb{E}^4$ 두 번째

원문: 2005, Joel L. Weiner and George.R Wilkens, Quaternions and Rotations in $\mathbb{E}^4$

필요한 개념: 벡터공간, 내적, 외적, 오일러 공식, 선형변환.
(환(ring), 벡터 공간의 합, 불변부분공간, 직교여공간은 사용될 때에 주석으로 간단하게 설명)

논문의 순서는 다음과 같다. 여기서는 3번의 주제를 다룬다. 4,5는 추후 다룰 예정.

1. Introduction
2. 내적(inner product)을 포함한 사원수환(Quaternion algebra) $\mathbb{H}$의 성질 정리
3. 단위사원수(unit Quaternion) $\mathbf{p,q}$로 회전변환 $\boldsymbol{C}_\mathbf{p,q} : \mathbb{H} \longrightarrow \mathbb{H} $ 정의 및 3차원 공간에서의 회전변환 성질 정리
4. 상미분방정식에서의 활용
5. $\mathbb{E}^4$의 직교변환에서 변하지 않는 2차원 불변부분공간(2-dimensional subspace) 찾기

연결된 포스팅 링크: 1부(1,2번), 2부(3번)

실제 사용하는 법 링크: 예시

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들어가기 전에 오일러 회전의 문제점부터 짚고 가자.

짐벌 락(gimbal lock) 현상이란?

(이미지: By Drummyfish - Own work, CC0, 위키백과)

 

 

 

 

회전한다고 하면 흔히 $x, y, z$축 기준으로 회전하는 것을 생각할 것이다.
이 때 회전축을 짐벌이라고 한다.
문제는 회전하다보면 회전축 자체도 같이 회전하므로 회전축끼리 일치하게 되어
이를 풀어주지 않으면 원하는 회전을 못 시키게 된다는 것이다. (위 이미지 참고)
따라서 회전축끼리 묶이는 짐벌락 현상이 일어나면 회전할 때 최단거리로 움직이지 않고 이상한 모양으로 움직인다.
이 문제는 3D 그래픽 디자인 뿐만 아니라 항공기 등을 운항할 때 큰 문제가 될 수 있다.

짐벌락 현상 예시(링크)

이를 해결하려면 짐벌에 의존하지 않는 회전을 해야한다. 이를 위해선 3차원에 고정된 축이 아닌 새로운 축을 잡기 위해
차원을 하나 높일 필요가 있으며, 가장 적합한 것이 사원수를 활용한 회전이다.

 

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$\mathbb{R}$-선형변환*: $\mathbb{H}$ 에서의 왼쪽 및 오른쪽 곱으로 정의된 함수

$\mathbf{q}$를 사원수라 하자. 그러면 두 선형변환 함수 $L_{\mathbf{q}}: \mathbb{H} \longrightarrow \mathbb{H},\; R_{\mathbf{q}}: \mathbb{H} \longrightarrow \mathbb{H}$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$L_{\mathbf{q}}(\mathbf{x})=\mathbf{qx},\; R_{\mathbf{q}}(\mathbf{x})=\mathbf{xq}$$

$\mathbf{q}$를 단위사원수라고 하면 $L_{\mathbf{q}}, R_{\mathbf{q}}$는 $\mathbb{H}$ 직교 변환(orthogonal transformation)임을 알 수 있다. 이 사실이 왜 중요하냐면 직교 변환은 내적을 보존하는 변환이기 때문이다. 내적을 보존하는 변환은 길이와 각도를 보존하므로 회전변환이 이와 관련이 있다. 이를 다음의 식을 통해 간단히 보일 수 있다.(이전 포스트에서 보였던 식을 기억하자.)

$$|L_{\mathbf{q}}(\mathbf{x})|=|\mathbf{qx}|= |\mathbf{q}||\mathbf{x}|=|\mathbf{x}|$$

단위 사원수 $\mathbf{p}$, $\mathbf{q}$에 대해 함수(mapping) $C_{\mathbf{p,q}}:\mathbb{H} \longrightarrow \mathbb{H}$를 아래와 같이 함수의 합성으로 정의하면, 순서를 바꿔 합성해도 같으며 직교 변환임을 쉽게 알 수 있다.

$$C_{\mathbf{p,q}}=L_{\mathbf{p}} \circ R_{\mathbf{q}}=R_{\mathbf{q}} \circ L_{\mathbf{p}}$$

5번째 주제에서 사용하게 될 간단한 공식이다. 성립은 함수식에 대입해보면 간단히 보일 수 있다.

$$C_{\mathbf{p_1,q_1}} \circ C_{\mathbf{p_2,q_2}}= C_{\mathbf{p_1 p_2,q_1 q_2}}$$

 

*선형변환은 덧셈, 상수배 연산을 유지하는 함수이다.

 

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$\mathbb{E}^3$에서의 사원수(Quaternion)를 이용한 회전변환

이제 본격적으로 단위사원수 $\mathbf{q}$에 대한 선형변환 $C_{\mathbf{q},\overline{\mathbf{q}}}$ 에 대해서 살펴보자. 이것을 간단하게 $C$라고 할 것이다.

앞서서 정리했듯 순단위사원수$\mathbf{u}$에 대해 $\mathbf{q}=e^{\mathbf{u}\theta}$ 라고 쓸 수 있다. 그러면
$$C(\mathbf{x})=\mathbf{qx\overline{q}}=e^{\mathbf{u}\theta}\mathbf{x}e^{-\mathbf{u}\theta}$$
이다. $C(\mathbf{1})=\mathbf{q1\overline{q}}=\mathbf{q\overline{q}1}=1\mathbf{1}=\mathbf{1}$ 이므로 스칼라 사원수인 $\mathbf{1}$은 보존하는 것을 알 수 있다. 즉 $\mathbb{E}^3$에 대응되는 순사원수($q_0=0$인 사원수)만 직교변환되므로 선형변환 $C$를 $\mathbb{E}^3$에 국한된 선형변환이라고 할 수 있다. $\mathbf{u}=\vec{u} \in \mathbb{E}^3$임을 주목하자.

드디어 회전변환에 대한 정리는 다음과 같다.

$\mathbf{Proposition 1.}$ 만약 $\mathbf{q}$이 단위사원수라면, 순단위사원수 $\mathbf{u}$와 실수 스칼라 $\theta$가 존재하여 $\mathbf{q}=e^{\mathbf{u}\theta}$이며, $C(\mathbf{x})=\mathbf{qx\overline{q}}$으로 정의된 선형변환 $C:\mathbb{E}^3 \longrightarrow \mathbb{E}^3$ 은 $\mathbf{u}$에 수직인 평면을 기준으로 $2\theta$ 만큼 회전하는 변환이다.

$Proof.$ 앞의 포스팅에서 $\mathbf{q}=e^{\mathbf{u}\theta}$임은 오일러 공식으로 간단하게 이미 보였다.

$$\frac{d}{d\theta}e^{\mathbf{u}\theta} = -\mathbf{1}\sin \theta +\mathbf{u}\cos \theta = \mathbf{u}e^{\mathbf{u}\theta} = e^{\mathbf{u}\theta}\mathbf{u}$$

이므로 $ \mathbf{u} = \vec{u} $ 은 $e^{\mathbf{u} \theta}$ 와 곱셈에서 교환가능하다.(사원수 곱은 교환법칙이 안된다.)
이를 통해 $C(\vec{u})=e^{\mathbf{u}\theta} \mathbf{u} e^{-\mathbf{u}\theta}= \vec{u}$ 임을 관찰할 수 있다.

그러므로 $C$는 $\mathbf{u}=\vec{u}$으로 생성(span)되는 부분공간(subspace)** $L$을 고정하고 움직이는 변환을 알 수 있다.
쉽게 말하면 $\vec{u}$를 방향벡터로 하고 원점을 지나는 직선 $L$은 선형변환 $C$에 의해 변하지 않으므로 축의 역할임을 알 수 있다.
(선형변환에서 배운 eigenvector와 유사한 역할을 하고 있다.여기서는 심지어 길이도 변하지 않는다.)

그러므로 직교여공간***(orthogonal complement)인 $L^{\bot} \subset \mathbb{E}^3$ 또한 잘 정의된다.

$\mathbf{v}=\vec{v}$를 $L^{\bot}$ 위의 단위벡터(순단위사원수)라고 하고, $\mathbf{w}=\mathbf{uv}=\vec{u}\times\vec{v}$라고 하자. (사원수 곱임을 기억하자)

또한, 앞의 포스팅에서 $\mathbf{u,v}$은 서로 수직인 순단위사원수이므로 $\mathbf{uv}=-\mathbf{vu}$ 임을 보였다.
따라서 등식 $\mathbf{v}e^{-\mathbf{u}\theta}=e^{\mathbf{u}\theta}\mathbf{v}$ 을 만족시킨다.
($e^{\mathbf{u}\theta}=\mathbf{1}\cos \theta +\mathbf{u}\sin \theta$을 대입해보면 알 수 있다.)

그러므로,
$$ \begin{split} C(\vec{v}) &= e^{\mathbf{u}\theta} \mathbf{v} e^{-\mathbf{u}\theta} \ &= e^{2 \mathbf{u}\theta}\mathbf{v} \ &= \cos(2\theta)\vec{v} + \sin (2 \theta) \vec{w} \end{split} $$
이다.

다시 말해 이것은 $\mathbf{u}$을 축으로 하고 $\mathbf{u}$와 수직인 $L^{\bot}$ 공간(서로 수직인 $\vec{v}, \vec{w}$ 벡터를 기저로 갖는 공간) 을 $2\theta$만큼 회전시킨 변환임을 알 수 있다.

 

 

 

 

**부분공간은 벡터 공간의 부분집합으로 벡터의 합, 스칼라배를 했을 때 다시 그 부분공간에 존재하면 (연산에 대해 닫혀있는 경우) 부분공간이라고 한다. 예를 들면 평면 벡터공간의 부분공간에는 직선이 있다. 직선 위의 어떤 벡터를 더하거나 실수배하든지 다시 직선 위의 점이 되기 때문이다.
***어떤 부분공간의 수직인 벡터들로 이루어진 부분공간을 의미한다. 예를 들면 직선의 직교여공간은 그 직선의 방향벡터를 법선벡터로 하는 평면이 된다.